Арифметическая прогрессия {an} с ненулевой разностью такова, что последовательность bn=an*ctgan также арифметическая прогрессия с ненулевой разностью. Найти возможные значения первого члена и разности прогрессии {an} , если для вснх n справедливо равенство cos an+cos3an+1=0 (везде н маленькая под буквой)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Дано:

{an} - арифметическая прогрессия с ненулевой разностью d,

bn = an * ctg(an) - арифметическая прогрессия с ненулевой разностью d.

Мы знаем, что bn = an * ctg(an).

Также дано равенство: cos an + cos(3an+1) = 0.

Так как cos(3an+1) = cos(3an)cos(1) - sin(3an)sin(1) = cos(3an) - sin(3an) * tg(1) = 4cos^3(an) - 3cos(an) - 4sin^3(an) + 3sin(an) = 4cos^3(an) - 4sin^3(an) - 3cos(an) + 3sin(an) = 4cos(an)sin^2(an) - 4sin(an)cos^2(an) - 3cos(an) + 3sin(an) = 4cos(an)sin(an)(sin(an) - cos(an)) - 3(cos(an) - sin(an)) = -3cos(an) + 3sin(an).

Подставляем это в исходное равенство: cos(an) - 3cos(an) + 3sin(an) = 0,

cos(an) + 3sin(an) = 0,

cos(an) = -3sin(an),

tg(an) = -3.

Так как tg(an) = d/(a + (n-1)d), т.е.

-3 = d/(a + (n-1)d),

a + (n-1)d = -d/3,

a + nd - d = -d/3,

a + (n-1)d = -d/3,

a = -d + (d/3) = 2d/3.

Итак, первый член прогрессии равен 2d/3, а разность прогрессии d = -3.