Исследовать функцию и построить ее график. Исследовать функцию и построить ее график: y=(x+1)e^4x+2

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала проанализируем данную функцию y=(x+1)e^(4x+2):

Нахождение области определения:
Функция определена для всех действительных значений переменной x, так как экспоненциальная функция e^(4x+2) определена для любых x.

Нахождение производной:
y' = (x+1)(4e^(4x+2)) + e^(4x+2) = (4x + 4)e^(4x+2) + e^(4x+2) = (4x + 5)e^(4x+2)

Нахождение точек экстремума:
Для поиска точек экстремума найдем корни уравнения y' = 0:
(4x + 5)e^(4x+2) = 0
4x + 5 = 0
4x = -5
x = -5/4

Исследование функции на монотонность и выпуклость:
Построим знаковую таблицу производной:
x | -∞ | -5/4 | +∞
y' | - | 0 | +
Исследуем интервалы на знак производной и найдем поведение функции. По графику функции видно, что функция убывает на интервале (-∞, -5/4) и возрастает на интервале (-5/4, +∞).

Нахождение точек перегиба:
Чтобы найти точки перегиба, найдем вторую производную:
y'' = (4e^(4x+2))(4x + 5) + (4)e^(4x+2)
y'' = 16xe^(4x+2) + 20e^(4x+2) + 4e^(4x+2)
y'' = (16x + 20 + 4)e^(4x+2)
y'' = (16x + 24)e^(4x+2)

Далее, для нахождения точек перегиба, нам надо найти корни уравнения y'' = 0:
(16x + 24)e^(4x+2) = 0
16x + 24 = 0
16x = -24
x = -3/2

Построение графика функции:
На основе проведенного анализа функции и найденных точек экстремума и перегиба построим график функции y=(x+1)e^(4x+2). График функции является экспоненциальным и может быть построен с использованием программы для построения графиков, такой как WolframAlpha или Desmos.