Дифференциальное уравнение высшего порядка Y’+y/x=sinx, y(п) =1/п

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

. Для решения этого дифференциального уравнения высшего порядка можно воспользоваться методом вариации произвольных постоянных.

Сначала найдем общее решение однородного уравнения y' + y/x = 0. Решим его характеристическим методом:

d^2y/dx^2 + 1/x *(dy/dx) = 0

Представим y = vx и продифференцируем

dy/dx = v + x dv/dx

Подставим в уравнение

d(v + x dv/dx)/dx + v + x dv/dx = 0

dv/dx + v/x = 0

dv/v = -dx/x

ln(v) = -ln(x) + C1

v = C/x

Теперь подставим найденное значение v = C/x в уравнение y = vx и получим общее решение однородного уравнения:

y(x) = C/x

Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения y' + y/x = sin(x). Обозначим это решение как y_p.

Предположим, что y_p = Acos(x) + Bsin(x)

Тогда y_p' = -Asin(x) + Bcos(x)

Подставим y_p и y_p' в уравнение:

-Asin(x) + Bcos(x) + (Acos(x) + Bsin(x))/x = sin(x)

(AB/x)cos(x) + (-AB/x)sin(x) + Bcos(x) - Asin(x) = sin(x)

(AB/x)cos(x) - (AB/x)sin(x) + Bcos(x) - Asin(x) = sin(x)

Решив систему уравнений, получаем:

A = 0, B = 1

Таким образом, частное решение неоднородного уравнения y' + y/x = sin(x) равно y_p = sin(x)

Теперь найдем полное решение дифференциального уравнения:

y(x) = y_h + y_p = C/x + sin(x)

Используя начальное условие y(п) = 1/п, найдем константу C:

1/п = C/п + sin(п)

C = 1 - п*sin(п)

Таким образом, полное решение дифференциального уравнения высшего порядка y' + y/x = sin(x), y(п) = 1/п, равно:

y(x) = (1 - п*sin(п))/x + sin(x)