Задача по геометрии В равнобедренной трапеции боковые стороны равны по 9 см, диагонали по 12 см. Точка пересечения диагоналей является центром окружности, касающейся меньшего основания и боковых сторон. Найдите основания трапеции.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим основания трапеции как (a) и (b), где (a) - меньшее основание, (b) - большее основание.

Так как трапеция равнобедренная, то диагонали (AC) и (BD) пересекаются в точке (O). По свойствам равнобедренной трапеции, точка (O) также является центром вписанной окружности.

Применим свойства касательных к окружности: расстояние от точки касания до точки пересечения с центром равно радиусу окружности.

Из подобия треугольников (OAB) и (ACD) получаем следующее:

[\frac{OA}{OC} = \frac{AB}{CD}
[\frac{OA}{OC} = \frac{\frac{a+b}{2}}{9}
[\frac{OA}{OC} = \frac{a+b}{18} \quad (1)]

Также из подобия треугольников (OBD) и (ACD) получаем следующее:

[\frac{OB}{OC} = \frac{BD}{CD}
[\frac{OB}{OC} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{9} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}]

Используем уравнение (1), чтобы найти (OA) и (OC):

[\frac{OA}{OC} = \frac{a+b}{18}
[\frac{2}{3} = \frac{a+b}{18}
(a+b = 12) (1.1)

Используем данное значение в уравнении (1):

[\frac{OA}{OC} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}]

Теперь найдем (a) и (b), зная что их сумма равна 12:

[a + b = 12]

Так как трапеция равнобедренная, то (a = b), следовательно:

[2a = 12
[a = 6
[b = 6]

Меньшее основание равно 6 см, большее основание также равно 6 см.