Олимпиада по математике В кошельке лежит 1010 рублей одно двух и пятирублевыми монетами известно что общее число монет равно 310и что монет каких то двух достоинств равное количество. Найдите это количество

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим количество монет по номиналам следующим образом:

(x) — количество однометровых монет,(y) — количество двухрублевых монет,(z) — количество пятирублевых монет.

Согласно условию задачи, у нас есть следующие уравнения:

Общее количество монет:
[
x + y + z = 310
]

Общая сумма в рублях:
[
x + 2y + 5z = 1010
]

Количество монет каких-то двух достоинств равно количеству монет третьего достоинства. Допустим, что количество двух достоинств равно (k), тогда возможны три случая:

(x = y = k) и (z = 310 - 2k),(y = z = k) и (x = 310 - 2k),(z = x = k) и (y = 310 - 2k).

Рассмотрим каждый случай отдельно.

Случай 1: (x = y = k)

Подставим в первое уравнение:
[
k + k + z = 310 \implies 2k + z = 310 \implies z = 310 - 2k
]

Подставим выражение для (z) во второе уравнение:
[
k + 2k + 5(310 - 2k) = 1010
]
Упрощаем:
[
k + 2k + 1550 - 10k = 1010
]
[
-7k + 1550 = 1010 \implies -7k = 1010 - 1550 \implies -7k = -540 \implies k = \frac{540}{7} \approx 77.14
]
Значения (k) не является целым, значит, этот случай не подходит.

Случай 2: (y = z = k)

Подставим:
[
x + k + k = 310 \implies x + 2k = 310 \implies x = 310 - 2k
]
Подставим во второе уравнение:
[
(310 - 2k) + 2k + 5k = 1010
]
Упрощаем:
[
310 - 2k + 2k + 5k = 1010 \implies 310 + 5k = 1010 \implies 5k = 1010 - 310 \implies 5k = 700 \implies k = 140
]
Тогда:
[
y = z = k = 140 \implies x = 310 - 2(140) = 30
]

Проверяем:
[
x + y + z = 30 + 140 + 140 = 310 \quad \text{(верно)}
]
[
x + 2y + 5z = 30 + 2(140) + 5(140) = 30 + 280 + 700 = 1010 \quad \text{(верно)}
]

Случай 3: (z = x = k)

Подставим:
[
k + y + k = 310 \implies 2k + y = 310 \implies y = 310 - 2k
]
И подставим во второе:
[
k + 2(310 - 2k) + 5k = 1010
]
Упрощаем:
[
k + 620 - 4k + 5k = 1010 \implies 620 + 2k = 1010 \implies 2k = 1010 - 620 \implies 2k = 390 \implies k = 195
]
Тогда:
[
z = x = k = 195 \implies y = 310 - 2(195) = 310 - 390 = -80
]
Не может быть отрицательным.

Итак, первый и третий случаи нельзя несовместимы. Наконец, для второго случая мы получили:

(x = 30)(y = 140)(z = 140)

Количество монет двух достоинств (двухрублевых и пятирублевых) равно 140.