Олимпиада по математике Из деревни в город с постоянной скоростью выехал грузовик. Когда он проехал 42 км, из деревни по той же дороге с постоянной скоростью выехал автомобиль. Когда автомобиль проехал 30 км, грузовик находился на расстоянии 65 км от деревни.
Найдите расстояние от деревни до города, если в город грузовик и автомобиль приехали одновременно. Ответ выразите в километрах.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим скорость грузовика за ( v_g ) км/ч, а скорость автомобиля за ( v_a ) км/ч. Пусть расстояние от деревни до города равно ( D ) км.

Грузовик проезжает 42 км, а затем еще ( D - 42 ) км. Время, затраченное грузовиком на весь путь, можно записать как:

[
t_g = \frac{42}{v_g} + \frac{D - 42}{v_g} = \frac{D}{v_g}
]

Автомобиль выехал из деревни позже, когда грузовик проехал 42 км. Автомобиль проехал 30 км, когда грузовик находился на расстоянии 65 км от деревни. В тот момент грузовик проехал:

[
42 + (65 - 42) = 65 \text{ км}
]

После того, как грузовик проехал 65 км, он проехал еще ( D - 65 ) км. Время, за которое грузовик проехал 65 км:

[
t_g' = \frac{65}{v_g}
]

Во время, пока грузовик проезжает 65 км, автомобиль проезжает 30 км, и это время можно записать как:

[
t_a = \frac{30}{v_a}
]

Таким образом, время, затраченное грузовиком на весь путь, можно записать через время, затраченное автомобилем. Нам известно, что грузовик и автомобиль прибыли одновременно, поэтому:

[
t_g = t_a + t_g'
]

Подставим выражения для ( t_g ) и ( t_g' ):

[
\frac{D}{v_g} = \frac{30}{v_a} + \frac{65}{v_g}
]

Перепишем это уравнение, выразив ( t_a ):

[
\frac{D}{v_g} - \frac{65}{v_g} = \frac{30}{v_a}
]

[
\frac{D - 65}{v_g} = \frac{30}{v_a}
]

Теперь выразим ( v_a ):

[
v_a = \frac{30 v_g}{D - 65}
]

Теперь рассмотрим время, за которое каждый из них доедет до города. Грузовику нужно проехать ( D - 42 ) км, а автомобилю ( D ) км. Поскольку они приходят в город одновременно:

[
\frac{D - 42}{v_g} = \frac{D}{v_a}
]

Подставим ( v_a = \frac{30 v_g}{D - 65} ):

[
\frac{D - 42}{v_g} = \frac{D}{\frac{30 v_g}{D - 65}}
]

Упростим уравнение:

[
\frac{D - 42}{v_g} = \frac{D (D - 65)}{30 v_g}
]

Умножим обе части на ( 30 v_g ):

[
30 (D - 42) = D (D - 65)
]

Раскроем скобки:

[
30D - 1260 = D^2 - 65D
]

Переносим все на одну сторону:

[
D^2 - 95D + 1260 = 0
]

Решаем квадратное уравнение по формуле:

[
D = \frac{95 \pm \sqrt{(-95)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1260}}{2 \cdot 1}
]

[
D = \frac{95 \pm \sqrt{9025 - 5040}}{2}
]

[
D = \frac{95 \pm \sqrt{3985}}{2}
]

Находим, что ( \sqrt{3985} \approx 63.15 ), следовательно:

[
D \approx \frac{95 \pm 63.15}{2}
]

Рассмотрим положительный корень:

[
D \approx \frac{158.15}{2} \approx 79.075
]

С учетом округления, мы можем сказать, что ( D \approx 79 ) км.

Ответ: расстояние от деревни до города равно примерно 79 км.