Проверочная работа по геометрии. Высота правильного треугольника равна 6 м. Найдите плошадь вписанной в треугольник окружности и описанной около треугольника окружности.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения задачи сначала нужно найти стороны правильного треугольника, используя его высоту. Обозначим сторону правильного треугольника как ( a ).

Высота правильного треугольника ( h ) выражается через сторону ( a ) следующим образом:

[
h = \frac{\sqrt{3}}{2} a
]

По условию задачи, высота равна 6 м. Подставим это значение в формулу:

[
6 = \frac{\sqrt{3}}{2} a
]

Отсюда выразим сторону ( a ):

[
a = \frac{6 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3} \text{ м}
]

Теперь мы можем найти площадь правильного треугольника ( S ):

[
S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{(4\sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{48 \sqrt{3}}{4} = 12\sqrt{3} \text{ м}^2
]

Теперь найдем радиус окружности, вписанной в треугольник (радиус ( r )). Формула для радиуса вписанной окружности правильного треугольника:

[
r = \frac{S}{p}
]

где ( p ) — полупериметр. Полупериметр правильного треугольника можно определить как:

[
p = \frac{3a}{2} = \frac{3(4\sqrt{3})}{2} = 6\sqrt{3}
]

Теперь подставим значения в формулу для радиуса ( r ):

[
r = \frac{12\sqrt{3}}{6\sqrt{3}} = 2 \text{ м}
]

Площадь окружности, вписанной в треугольник, вычисляется по формуле:

[
S_{вписанная} = \pi r^2 = \pi (2^2) = 4\pi \text{ м}^2
]

Теперь найдем радиус окружности, описанной около треугольника (радиус ( R )). Формула для радиуса описанной окружности правильного треугольника:

[
R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 4 \text{ м}
]

Площадь окружности, описанной около треугольника, вычисляется по формуле:

[
S_{описанная} = \pi R^2 = \pi (4^2) = 16\pi \text{ м}^2
]

Таким образом, нам удалось найти площади окружностей: