Решение уравнения 17x mod253=1

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Чтобы решить уравнение ( 17x \mod 253 = 1 ), нам нужно найти такое ( x ), при котором ( 17x \equiv 1 \mod 253 ). Это означает, что ( x ) является обратным элементом к ( 17 ) по модулю ( 253 ).

Для нахождения обратного элемента можно использовать алгоритм Евклида, чтобы убедиться, что ( 17 ) и ( 253 ) взаимно простые (имели наибольший общий делитель равный 1).

Найдем ( \gcd(17, 253) ) с помощью алгоритма Евклида: [
253 = 17 \cdot 14 + 15
]
[
17 = 15 \cdot 1 + 2
]
[
15 = 2 \cdot 7 + 1
]
[
2 = 1 \cdot 2 + 0
]

Последний не нулевой остаток ( 1 ), значит, ( \gcd(17, 253) = 1 ).

Теперь используем расширенный алгоритм Евклида для нахождения коэффициентов ( x ) и ( y ): Мы разворачиваем последний шаг:
[
1 = 15 - 2 \cdot 7
]
Подставляем значение ( 2 ):
[
2 = 17 - 15 \cdot 1 \Rightarrow 1 = 15 - (17 - 15 \cdot 1) \cdot 7 = 15 \cdot 8 - 17 \cdot 7
]
Подставляем теперь ( 15 ):
[
15 = 253 - 17 \cdot 14 \Rightarrow 1 = (253 - 17 \cdot 14) \cdot 8 - 17 \cdot 7 = 253 \cdot 8 - 17 \cdot 119
]

Это дает нам ( x = -119 ) и ( y = 8 ).

Теперь найдем положительное значение для ( x ): Мы можем привести ( -119 ) к положительному эквиваленту по модулю ( 253 ):
[
-119 + 253 = 134
]

Таким образом, ( x \equiv 134 \mod 253 ) является решением. Проверим:

[
17 \cdot 134 = 2278
]
Теперь берем остаток от деления на ( 253 ):
[
2278 \mod 253 = 1
]

Решение уравнения ( 17x \mod 253 = 1 ) — это ( x = 134 ).