Лента Мёбиуса — это простейшая неориентируемая поверхность с краем. Кратко: - Конструкция: берут прямоугольную ленту и скрепляют концы с одним половинным (180°) поворотом. Формально: это фактор-пространство [0,1]×[0,1][0,1]\times[0,1][0,1]×[0,1] при отождествлении (0,y)∼(1,1−y)(0,y)\sim(1,1-y)(0,y)∼(1,1−y). - Свойства: - имеет одну сторону (одну непрерывную «поверхность») и одну границу (краевую окружность); - неориентируема — нельзя задать непротиворечивое направление нормали по всей ленте; - односвязность: гомотопически эквивалентна кругу, поэтому π1≅Z\pi_1\cong\mathbb{Z}π1≅Z; - гомологии: H0≅ZH_0\cong\mathbb{Z}H0≅Z, H1≅ZH_1\cong\mathbb{Z}H1≅Z, H2=0H_2=0H2=0; характеристика Эйлера χ=0\chi=0χ=0. - Интересные факты: если разрезать ленту Мёбиуса по срединной линии, получим не две полоски, а одну более длинную полоску с двумя половинными скрутками (т.е. эквивалентную цилиндру); если разрезать на треть ширины, можно получить одну ленту Мёбиуса и одну обычную полоску. Пример: бумажная лента с половинным скрутом — простая модель ленты Мёбиуса.
- Конструкция: берут прямоугольную ленту и скрепляют концы с одним половинным (180°) поворотом. Формально: это фактор-пространство [0,1]×[0,1][0,1]\times[0,1][0,1]×[0,1] при отождествлении (0,y)∼(1,1−y)(0,y)\sim(1,1-y)(0,y)∼(1,1−y).
- Свойства:
- имеет одну сторону (одну непрерывную «поверхность») и одну границу (краевую окружность);
- неориентируема — нельзя задать непротиворечивое направление нормали по всей ленте;
- односвязность: гомотопически эквивалентна кругу, поэтому π1≅Z\pi_1\cong\mathbb{Z}π1 ≅Z;
- гомологии: H0≅ZH_0\cong\mathbb{Z}H0 ≅Z, H1≅ZH_1\cong\mathbb{Z}H1 ≅Z, H2=0H_2=0H2 =0; характеристика Эйлера χ=0\chi=0χ=0.
- Интересные факты: если разрезать ленту Мёбиуса по срединной линии, получим не две полоски, а одну более длинную полоску с двумя половинными скрутками (т.е. эквивалентную цилиндру); если разрезать на треть ширины, можно получить одну ленту Мёбиуса и одну обычную полоску.
Пример: бумажная лента с половинным скрутом — простая модель ленты Мёбиуса.