Как найти элемент с нужным порядком в кольце вычетов? Здравствуйте.
Есть следующая задача: имеется большое простое число p, а так же q | p - 1.
Необходимо найти g ∈ Zp порядка q. Есть ли рекомендации по теории или оптимальные алгоритмы по поиску таких элементов?
Заранее спасибо.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для поиска элемента g порядка q в кольце вычетов Zp можно воспользоваться алгоритмом поиска первообразного элемента.

Первообразный элемент в кольце Zp - это элемент g, такой что порядок циклической подгруппы равен p-1. То есть, если найденный элемент g имеет порядок q, то он и является первообразным элементом.

Существует алгоритм "Половинного деления" (или "Алгоритм Шенкса"), который позволяет эффективно найти первообразные элементы в кольце вычетов.

Выбираются случайные элементы в Zp и проверяется их порядок с помощью возведения их в степень по модулю p. Если порядок не совпадает с p-1, то можно продолжить поиск других элементов. При этом продолжая поиск, можно проверять их порядок сначала среди делителей числа p-1, и в случае нахождения элемента с порядком q, он будет искомым элементом g.

Обратите внимание, что алгоритм может быть не эффективным на практике, если p очень большое число, в таком случае можно использовать более сложные алгоритмы или оптимизированные методы поиска.