Для каких элементов существует обратный элемент(метод Хилла)? Здравствуйте, изучаю шифрование методом Хилла, алгоритм простой и весьма понятный. Но возник вопрос: для каких элементов существует обратный элемент? В инете прочитал, что он существует для A которые взаимно простые с m, но почему это так?
буду благодарен за помощь)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Привет! Для элементов существует обратный элемент в кольце по модулю m, если элемент является взаимно простым с m. Это означает, что НОД(A, m) = 1, где НОД обозначает наибольший общий делитель.

Поясню почему это так. Пусть у нас есть число A, для которого существует обратный элемент по модулю m. Обозначим обратный элемент как А^(-1). Тогда выполняется следующее уравнение:

A * A^(-1) ≡ 1 (mod m)

Если A и m не являются взаимно простыми, то НОД(A, m) != 1. В таком случае уравнение выше не будет иметь решения, так как существует общий делитель между A и m, который делит и левую, и правую часть уравнения.

Поэтому для того чтобы найти обратный элемент для A по модулю m, необходимо проверить, что A и m взаимно просты. Если это условие выполняется, то обратный элемент существует и может быть найден.