"Остаться одному" означает быть в одиночестве, без компании других людей. Это может быть как временное состояние, так и постоянное.

"Остаться одним" может также означать остаться без поддержки или помощи от других, быть в одиночестве в каком-то отношении. Например, "он остался один в своей борьбе за правду".