У - предлог, в данном случае указывает на принадлежность к какому-то объекту или субъекту.домашней - прилагательное, определяет существо кошку.кошки - существительное, обозначающее вид животных.долгая и славная - прилагательные, характеризующие историю.история - существительное, обозначающее предмет описания.