Олимпиада по математике Сумма восьми чисел равна 4/5. Оказалось, что сумма любых семи чисел из этих восьми неотрицательна. Какое наименьшее значение может принимать одно из данных чисел?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть данные числа обозначены как a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8. Тогда из условия имеем:
a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 + a8 = 4/5

Сумма любых семи из восьми чисел неотрицательна, поэтому a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 >= 0, a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a8 >= 0 и так далее.

Из этого следует, что a8 >= - (a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7)

Подставляем в первое уравнение:
a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 + a8 >= 4/5
a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 + a8 >= 0
a8 >= - (a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7)

Таким образом, a8 >= 4/5.

Наименьшее значение одного из чисел равно 4/5.