Задача по математике В мешке было поровну черных и белых шаров. Из мешка наугад берут шар, кладут туда три черных шара и снова наугад вынимают шар. Вероятность, что среди двух вынутых будет хотя бы один черный, равна 4/5. Сколько шаров изначально было в мешке?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим количество шаров изначально в мешке за $n$. Тогда изначально в мешке было $n$ черных и $n$ белых шаров.

После первого вытаскивания из мешка получаем 3 черных и $n$ белых шаров.

Вероятность, что хотя бы один черный среди двух вынутых равна 4/5. По формуле полной вероятности:

$$P(\text{хотя бы один черный}) = 1 - P(\text{все белые})$$

Пусть $P(\text{все белые})$ - вероятность вытащить 2 белых шара после добавления 3-х черных. Эта вероятность равна:

$$P(\text{все белые}) = \frac{n}{n+3} \cdot \frac{n-1}{n+2}$$

Тогда:

$$P(\text{хотя бы один черный}) = 1 - \frac{n}{n+3} \cdot \frac{n-1}{n+2} = \frac{4}{5}$$

Решив уравнение:

$$\frac{3n^2 + 3n - 5}{5n+15} = \frac{4}{5}$$

Получаем, что $n = 7$.

Итак, изначально в мешке было 7 черных и 7 белых шаров.