Найти площадь каждой из фигур, на которые прямая ? = ? + 4 делит фигуру, ограниченную линиями ? = 1/2 ?^2 и ? = 8

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем точки пересечения данных функций.

1) Найдем точки пересечения прямой и параболы ? = 1/2 ?^2:
1/2 ?^2 = ? + 4
?^2 - 2? - 8 = 0
(? - 4)(? + 2) = 0
Точки пересечения: ? = 4 и ? = -2

2) Найдем точки пересечения прямой и прямой ? = 8:
? = ? + 4
? = 8
Точка пересечения: ? = 8

Таким образом, прямая ? = ? + 4 делит фигуру на две части: между интервалами [-2, 4] и [4, 8].

1) Для первой части, где ? находится в интервале от -2 до 4, площадь фигуры будет равна:
S1 = ∫(1/2 ?^2 - (? + 4)) d? от -2 до 4
S1 = ∫(1/2 ?^2 - ? - 4) d? от -2 до 4
S1 = (1/6 ?^3 - 1/2 ?^2 - 4?) от -2 до 4
S1 = [(1/6 4^3 - 1/2 4^2 - 44) - (1/6 (-2)^3 - 1/2 (-2)^2 - 4(-2))]
S1 = [32/3 - 8 - 16 + 4/3 + 2 + 8]
S1 = 22/3

2) Для второй части, где ? находится в интервале от 4 до 8, площадь фигуры будет равна:
S2 = ∫(? + 4 - 8) d? от 4 до 8
S2 = ∫(? - 4) d? от 4 до 8
S2 = (1/2 ?^2 - 4?) от 4 до 8
S2 = [1/2 8^2 - 4 8 - (1/2 4^2 - 4 4)]
S2 = [32 - 32 - 8 + 16]
S2 = 8

Итак, площади каждой из фигур, на которые прямая ? = ? + 4 делит фигуру, ограниченную линиями ? = 1/2 ?^2 и ? = 8, равны 22/3 и 8 соответственно.