Найдите значение выражения(1−1/4)⋅(1−1/9)⋅…⋅(1−1/100^2)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения этой задачи мы можем заметить, что каждая скобка выражения является разностью единицы и обратной квадратной степени числа. Таким образом, каждое выражение можно записать в виде (1 - 1/n^2), где n - число от 2 до 100.

Теперь умножим все эти выражения:

(1 - 1/4) (1 - 1/9) ... (1 - 1/100^2) = (1 - 1/2^2) (1 - 1/3^2) ... (1 - 1/100^2)

Теперь раскроем скобки и упростим:

(3/4) (8/9) ... (9999/10000) = 3/4 8/9 ... 9999/10000

Теперь умножим все числители и все знаменатели:

(3 8 ... 9999) / (4 9 ... 10000) = (3 8 ... 9999) / (4 9 ... 10000)

Теперь найдем числитель и знаменатель отдельно:

Числитель:

3 8 ... 9999 = 3 8 15 ... 9999 = (3 15 ... 9999) / (5 7 ... * 9995) = 45 / 9995

Знаменатель:

4 9 ... 10000 = 4 9 16 ... 10000 = (4 16 ... 10000) / (2 3 ... * 9999) = 64 / 6667

Итак, результат выражения равен 45/9995 / 64/6667 = (45 6667) / (9995 64) = 301515 / 639680 = 0.471127.