Оба варианта могут быть использованы, в зависимости от контекста "К вечеру начался кашель и насморк" - означает, что кашель и насморк начались у одного человека "К вечеру начались кашель и насморк" - означает, что кашель и насморк появились у нескольких людей или у группы людей.
Оба варианта могут быть использованы, в зависимости от контекста
"К вечеру начался кашель и насморк" - означает, что кашель и насморк начались у одного человека
"К вечеру начались кашель и насморк" - означает, что кашель и насморк появились у нескольких людей или у группы людей.