Задача по геометрии Найдите величину угла между диагональю B1D прямого паралелепипеда ABCDA1B1C1D1 все ребра которого равны, и плоскостью грани ADD1A1, если угл BAD равен 60°

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала определим, что параллелепипед ABCDA1B1C1D1 является прямым, а его рёбра равны, значит его грани являются квадратами.

Так как угол BAD равен 60°, то угол между диагональю B1D и плоскостью грани ADD1A1 равен углу между векторами AB и BD1. Для нахождения угла между векторами используем скалярное произведение:

cos угла = (AB · BD1) / (|AB| * |BD1|),

где AB = AD + DB, BD1 = BD + DD1.

Так как все рёбра равны, то AB = DB = 1, BD = √2, DD1 = √2.

Тогда AB · BD1 = AD BD + DD DD1 = AD * √2 + 2.

|AB| = √2, |BD1| = √2.

cos угла = (AD * √2 + 2) / 2,

угол = arccos((AD * √2 + 2) / 2).

Теперь осталось найти AD. Используем косинусное правило в треугольнике ABD:

cos 60° = (AB^2 + BD^2 - AD^2) / (2 AB BD),

1/2 = (2 + 1 - AD^2) / (2 * 1),

1 = (3 - AD^2) / 2,

AD^2 = 1,

AD = 1.

Тогда угол = arccos((1 * √2 + 2) / 2) = arccos((√2 + 2) / 2).

Ответ: угол между диагональю B1D и плоскостью грани ADD1A1 равен arccos((√2 + 2) / 2).