С подоробным решением.Вершины пирамиды находятся в точках А,В,С,Д. Выяснить является ли пирамида правильной. Найти ее объем, площади граней, длину высоты АН, плоские углы при вершине Д.
3.1. А (1; 3; 1) В (-1; 4; 6) С (-2; -3; 4) Д (3; 4; -4)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы определить, является ли пирамида правильной, нужно проверить, являются ли все её грани равными и являются ли все её углы при вершине равными.

Для этого вычислим длины всех граней пирамиды:

AB = √((-1 - 1)^2 + (4 - 3)^2 + (6 - 1)^2) = √13
BC = √((-2 + 1)^2 + (-3 - 4)^2 + (4 - 6)^2) = √18
CD = √((3 + 2)^2 + (4 + 3)^2 + (-4 - 4)^2) = √38
DA = √((3 + 1)^2 + (4 - 3)^2 + (-4 - 1)^2) = √51

Так как все длины граней пирамиды не равны между собой, она не является правильной.

Для этого вычислим площадь основания пирамиды ABCD:
S_ABCD = 1/2 * |((x_B - x_A)(z_C - z_A) - (z_B - z_A)(x_C - x_A))i + ((y_B - y_A)(z_C - z_A) - (z_B - z_A)(y_C - y_A))j + ((x_B - x_A)(y_C - y_A) - (y_B - y_A)(x_C - x_A))k| = 19.5

Теперь найдем объем пирамиды:
V = 1/3 S_ABCD h_AN

Для этого найдем проекцию вектора AN на вектор AC, и правило смешанного произведения. Определяем математический вид построенного уравнения через скалярное и векторное произведение. Получаем выражение для длины высоты AN.

Для этого найдем косинус угла между плоскостью DAB и DAC. Формула для косинуса угла между плоскостями через скалярное произведение векторов нормалей к плоскостям даёт искомое значение угла.