Задание по математике олимпиад
Дана шахматная доска Разрешается перекрашивать в другой цвет сразу все клетки какой либо горизонтали или вертикали . Может ли при этом получиться доска, у которой ровно одна черная клетка

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Чтобы выяснить, может ли получиться шахматная доска с ровно одной черной клеткой, рассмотрим свойства шахматной доски и природу перекраски.

Шахматная доска — это квадратная доска 8x8, которая изначально состоит из черных и белых клеток, расположенных в шахматном порядке. Это означает, что на доске чередуются клетки разного цвета.

Пусть на доске изначально (B) — количество черных клеток, а (W) — количество белых клеток. На стандартной шахматной доске:

(B = 32) (черные клетки),(W = 32) (белые клетки).

Теперь рассмотрим, что происходит во время перекраски. При перекраске всех клеток одной горизонтали или вертикали цвет клеток в этой линии меняется, и количество черных и белых клеток на этой линии изменяется на 8 (все 8 клеток меняют цвет).

Это означает, что количество черных клеток всегда изменяется на четное число, так как:

Если горизонталь (или вертикаль) содержит (k) черных и (8 - k) белых клеток, после перекраски будет (8 - k) черных и (k) белых клеток, то изменение количества черных клеток составит ( (8 - k) - k = 8 - 2k ).

Так как 8 — четное число, это значит, что количество черных клеток на доске меняется на четное число при каждой перекраске линии. Так как исходно мы имеем 32 черные клетки (четное число), после произвольного количества перекрашиваний мы всегда будем иметь четное количество черных клеток на доске.

Чтобы получить ровно 1 черную клетку, нам нужно, чтобы количество черных клеток стало нечетным числом. Это невозможно, так как при любом изменении количества черных клеток, начиная с 32, мы всегда остаемся на четном числе. Таким образом, нельзя получить доску, у которой ровно одна черная клетка.

Ответ: Нет, нельзя.