1) Найдите значения m и n при которых векторы p(m;-2;4) и q(6;n-12) коллинеарны
1) Найдите значения m и n при которых векторы p(m;-2;4) и q(6;n;-12) коллинеарны.
2) Найдите значение к, при котором векторы а(2;6-k;1;) b(-2;k;4) перпендиеулярны

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

1) Векторы ( p = (m, -2, 4) ) и ( q = (6, n - 12) ) коллинеарны, если существует скаляр ( k ), такой что:

[
p = k \cdot q
]

Это означает, что компоненты векторов связаны следующим образом:

[
m = k \cdot 6
]
[
-2 = k \cdot (n - 12)
]
[
4 = k \cdot 0
]

Последнее уравнение ( 4 = k \cdot 0 ) подразумевает, что ( k ) может принимать любые значения при ( 0 ) для компоненты ( q ), так как на ноль делить нельзя. Это указывает на то, что для коллинеарности ( k ) должен быть равен нулю, что в свою очередь означает, что вектор ( q ) должен быть нулевым вектором.

Таким образом, мы приравниваем каждую составляющую ( q ) к нулю:

[
6 = 0 \quad (\text{это уравнение не имеет решения}),
]
[
n - 12 = 0 \Rightarrow n = 12.
]

В этом случае, чтобы ( p ) и ( q ) были коллинеарны, ( p ) должен быть нулевым вектором:

[
m = 0, \quad -2 \quad (необходимо быть равным 0).
]

Так что для любого ( n = 12 ) вектор ( q ) будет коллинеарен с вектором ( p ) только если ( m ) также равен 0.

Таким образом, возможные значения:

2) Векторы ( a = (2, 6 - k, 1) ) и ( b = (-2, k, 4) ) перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю:

[
a \cdot b = 2 \cdot (-2) + (6 - k) \cdot k + 1 \cdot 4 = 0.
]

Посчитаем скалярное произведение:

[
-4 + (6 - k)k + 4 = 0,
]
[
-4 + 6k - k^2 + 4 = 0,
]
[
6k - k^2 = 0.
]

Выносим ( k ):

[
k(6 - k) = 0.
]

Следовательно, ( k = 0 ) или ( k = 6 ).

Итак, значения ( k ) при которых векторы перпендикулярны: