Свойства степеней с целым показателем(определение и формулы)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Степени с целым показателем обладают рядом свойств, которые значительно упрощают операции с ними. Рассмотрим основные свойства степеней с целым показателем ( a^n ), где ( a ) — основание, а ( n ) — целый показатель.

Степень числа ( a ) с целым показателем ( n ) определяется следующим образом:

Произведение степеней с одинаковыми основаниями:
[
a^m \cdot a^n = a^{m+n}
]
(Складываем показатели.)

Частное степеней с одинаковыми основаниями:
[
\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \quad (a \neq 0)
]
(Вычитаем показатели.)

Степень степени:
[
(a^m)^n = a^{m \cdot n}
]
(Умножаем показатели.)

Произведение степеней с одинаковыми показателями:
[
a^m \cdot b^m = (a \cdot b)^m
]

Частное степеней с одинаковыми показателями:
[
\frac{a^m}{b^m} = \left(\frac{a}{b}\right)^m \quad (b \neq 0)
]

Степень с нулевым показателем:
[
a^0 = 1 \quad (a \neq 0)
]

Степень с отрицательным показателем:
[
a^{-n} = \frac{1}{a^n} \quad (a \neq 0)
]

Эти свойства являются основными и широко применяются в математике при работе со степенями.

тепени с целым показателем обладают рядом свойств, которые значительно упрощают операции с ними. Рассмотрим основные свойства степеней с целым показателем ( a^n ), где ( a ) — основание, а ( n ) — целый показатель.

Определение

Степень числа ( a ) с целым показателем ( n ) определяется следующим образом:

Если ( n > 0 ), то ( a^n = a \times a \times \ldots \times a ) (n множителей).Если ( n = 0 ), то ( a^0 = 1 ) (при ( a \neq 0 )).Если ( n < 0 ), то ( a^n = \frac{1}{a^{-n}} ).Основные свойства

Произведение степеней с одинаковыми основаниями:

[

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

]

(Складываем показатели.)

Частное степеней с одинаковыми основаниями:

[

\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \quad (a \neq 0)

]

(Вычитаем показатели.)

Степень степени:

[

(a^m)^n = a^{m \cdot n}

]

(Умножаем показатели.)

Произведение степеней с одинаковыми показателями:

[

a^m \cdot b^m = (a \cdot b)^m

]

Частное степеней с одинаковыми показателями:

[

\frac{a^m}{b^m} = \left(\frac{a}{b}\right)^m \quad (b \neq 0)

]

Степень с нулевым показателем:

[

a^0 = 1 \quad (a \neq 0)

]

Степень с отрицательным показателем:

[

a^{-n} = \frac{1}{a^n} \quad (a \neq 0)

]

Примеры( 2^3 \cdot 2^2 = 2^{3+2} = 2^5 = 32 )( \frac{3^4}{3^2} = 3^{4-2} = 3^2 = 9 )( (5^2)^3 = 5^{2 \cdot 3} = 5^6 = 15625 )( 4^0 = 1 )

Эти свойства являются основными и широко применяются в математике при работе со степенями.