Решение примера по алгебре Найти промежутки возрастания и убывания функции
y=e^x^2+3x

11 Дек в 19:41
15 +2
0
Ответы
1

Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции ( y = e^{x^2} + 3x ), необходимо выполнить следующие шаги:

Найдите производную функции ( y ).Определите критические точки, приравняв производную к нулю.Проанализируйте знаки производной на промежутках, которые образованы критическими точками.Шаг 1: Найти производную

Функция задана как ( y = e^{x^2} + 3x ). Найдем её производную:

[
y' = \frac{d}{dx}(e^{x^2}) + \frac{d}{dx}(3x)
]

Для нахождения производной ( e^{x^2} ) используем правило цепочки:

[
\frac{d}{dx}(e^{u}) = e^{u} \cdot u', \quad \text{где } u = x^2, \, u' = 2x
]

Таким образом:

[
\frac{d}{dx}(e^{x^2}) = e^{x^2} \cdot 2x
]

Теперь подставим это в выражение для производной:

[
y' = e^{x^2} \cdot 2x + 3
]

Или:

[
y' = 2x e^{x^2} + 3
]

Шаг 2: Найти критические точки

Приравняем производную к нулю:

[
2x e^{x^2} + 3 = 0
]
[
2x e^{x^2} = -3
]

Поскольку ( e^{x^2} ) всегда положительно, произведение ( 2x e^{x^2} ) будет равно -3 только в том случае, если ( x < 0 ) и ( 2x ) также будет отрицательным. Таким образом, у нас есть:

[
2x = -\frac{3}{e^{x^2}}
]

Это уравнение не имеет простого аналитического решения, но мы можем использовать численные методы или графический анализ, чтобы найти приближенное значение нуля.

Шаг 3: Анализ знаков производной

Чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции, проанализируем знак производной ( y' = 2x e^{x^2} + 3 ).

Выразим это следующим образом:

Если ( y' > 0 ), то функция возрастает.Если ( y' < 0 ), то функция убывает.

Определим значения функции в нескольких точках:

В точке ( x = -2 ):
[
y'(-2) = 2(-2)e^{(-2)^2} + 3 = -4e^4 + 3 < 0
]

В точке ( x = -1 ):
[
y'(-1) = 2(-1)e^{(-1)^2} + 3 = -2e + 3 \approx -2 \cdot 2.718 + 3 \approx -5.436 + 3 < 0
]

В точке ( x = 0 ):
[
y'(0) = 2(0)e^{0^2} + 3 = 3 > 0
]

Чем больше ( x ), тем больше ( y' ) становится положительным, поскольку ( e^{x^2} ) растет намного быстрее, чем линейный член ( 3x ).

Итоги:Функция убывает на промежутках ( (-\infty, x_c) ), где ( x_c ) - такая точка, для которой ( 2x e^{x^2} + 3 = 0 ).Функция возрастает на промежутках ( (x_c, \infty) ).

Таким образом, чтобы найти точное значение ( x_c ), можно использовать численные методы или графический подход.

11 Дек в 19:46
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Название заказа не должно быть пустым
Введите email
Бесплатные доработки
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы
Проверка работы на плагиат
Интересные статьи из справочника
Поможем написать учебную работу
Название заказа не должно быть пустым
Введите email
Доверьте свою работу экспертам
Разместите заказ
Наша система отправит ваш заказ на оценку 94 888 авторам
Первые отклики появятся уже в течение 10 минут
Прямой эфир