Задачка по геометрии B равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС к боковой стороне АВ проведена медиана CD, равная 13 см. Периметр треугольника DBC больше периметра треугольника ADC на 19 см. Найдите стороны треугольника АВС, если его периметр равен 53 см.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим длины сторон треугольника ( ABC ):

Тогда периметр треугольника ( ABC ) можно записать как:
[
P_{ABC} = AB + AC + BC = x + x + y = 2x + y = 53 \quad (1)
]

Медиана ( CD ) делит сторону ( AB ) пополам, поэтому:
[
AD = DB = \frac{x}{2}.
]

Теперь найдем периметры треугольников ( DBC ) и ( ADC ):
[
P{ADC} = AD + DC + AC = \frac{x}{2} + 13 + x = \frac{3x}{2} + 13.
]
[
P{DBC} = DB + DC + BC = \frac{x}{2} + 13 + y = \frac{x}{2} + 13 + y.
]

Согласно условию задачи, периметр треугольника ( DBC ) больше периметра треугольника ( ADC ) на 19 см:
[
\left( \frac{x}{2} + 13 + y \right) - \left( \frac{3x}{2} + 13 \right) = 19.
]

Упрощаем это уравнение:
[
\frac{x}{2} + 13 + y - \frac{3x}{2} - 13 = 19,
]
[
\frac{x}{2} - \frac{3x}{2} + y = 19,
]
[
-y = 19 - x,
]
[
y = x - 19 \quad (2).
]

Теперь подставим выражение для ( y ) из уравнения (2) в уравнение (1):
[
2x + (x - 19) = 53,
]
[
3x - 19 = 53,
]
[
3x = 72,
]
[
x = 24.
]

Теперь подставим значение ( x ) обратно, чтобы найти ( y ):
[
y = 24 - 19 = 5.
]

Таким образом, стороны треугольника ( ABC ) равны:

Проверим:
Периметр треугольника:
[
AB + AC + BC = 24 + 24 + 5 = 53 \, \text{см}.
]

Периметры треугольников ( ADC ) и ( DBC ):
[
P{ADC} = \frac{24}{2} + 13 + 24 = 12 + 13 + 24 = 49,
]
[
P{DBC} = \frac{24}{2} + 13 + 5 = 12 + 13 + 5 = 30.
]

Разность периметров:
[
P{DBC} - P{ADC} = 30 - 49 = 19.
]
Это соответствует условию задачи.

Таким образом, стороны треугольника ( ABC ) равны ( 24 \, \text{см}, 24 \, \text{см} ) и ( 5 \, \text{см} ).