Задачи по геометрии Точки К и М делят диагональ BD трапеции ABCD на три равные части. Площадь треугольника СКМ равна 3 см2. Найдите площадь трапеции, если основание AD в два раза длиннее BC.в равнобедренной трапеции угол между диагоналями равен 60 градусов, основания равны 2 и 6. найжите площадь тропеции

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Давайте решим каждую из задач.

Условие: Точки К и М делят диагональ BD трапеции ABCD на три равные части. Площадь треугольника СКМ равна 3 см². Найдите площадь трапеции, если основание AD в два раза длиннее BC.

Обозначим длину основания BC равной ( x ), тогда длина основания AD будет ( 2x ).

Диагональ BD делится на три равные части, а значит, ( BK = KM = MD = \frac{BD}{3} ).

Существует известное соотношение, что площадь треугольника, образованного секущей (в данном случае отрезками К и М) и основаниями трапеции, будет пропорциональна площади трапеции:

[ S{СКМ} = \frac{S{ABCD}}{9} ]

Отсюда находим площадь трапеции:

[ S{ABCD} = 9 \cdot S{СКМ} = 9 \cdot 3 = 27 \text{ см}^2. ]

Ответ: Площадь трапеции ABCD равна 27 см².

Условие: В равнобедренной трапеции угол между диагоналями равен 60 градусов, основания равны 2 и 6. Найдите площадь трапеции.

Обозначим основания трапеции как ( a = 2 ) и ( b = 6 ). Высота равнобедренной трапеции может быть найдена через угол между диагоналями и формулу для площади.

Площадь трапеции вычисляется по формуле:

[
S = \frac{(a + b) \cdot h}{2},
]

где ( h ) – высота трапеции. В равнобедренной трапеции высокодоходный угол может быть выражен через половину угла между диагоналями; в нашем случае это ( 30^\circ ).

Определим высоту через синус:

Пусть ( c ) – длина боковой стороны. В этом случае высота ( h ) будет равна:

[
h = c \cdot \sin(30^\circ) = \frac{c}{2}.
]

С учетом подобия треугольников, отрезки оснований можно выразить:

[
c = \sqrt{h^2 + d^2},
]

где ( d = \frac{b - a}{2} = \frac{6 - 2}{2} = 2 ).

Подставим ( h = c/2 ) в уравнение:

[
c^2 = \left( \frac{c}{2} \right)^2 + 2^2,
]
[
c^2 = \frac{c^2}{4} + 4.
]

Умножив обе стороны на 4:

[
4c^2 = c^2 + 16,
]
[
3c^2 = 16 \implies c^2 = \frac{16}{3} \implies c = \frac{4}{\sqrt{3}}.
]

Теперь можем найти высоту:

[
h = \frac{c}{2} = \frac{2}{\sqrt{3}}.
]

Теперь подставляем в формулу площади:

[
S = \frac{(2 + 6) \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}{2} = \frac{8 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}{2} = \frac{8}{\sqrt{3}} \approx 4.62.
]

Ответ: Площадь равнобедренной трапеции составляет ( \frac{8}{\sqrt{3}} ) или примерно ( 4.62 ) см².