Задачка по геометрии 6) Через сторону "a" нижнего основания правильной треугольной призмы проведена плоскость под углом альфа к плоскости основания. Найдите боковую поверхность образовавшейся при этом пирамиды. 9) Равнобедренная трапеция с острым углома, у которой боковые стороны и меньшее основание равны "a", вращается вокруг большего основания. Найдите объем и поверхность тела вращения.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Задача 6

Для правильной треугольной призмы с нижним основанием в виде правильного треугольника, будем считать, что стороны треугольника равны ( a ).

Мы проведем плоскость через одну из сторон ( a ) нижнего основания под углом ( \alpha ) к плоскости основания.Образовавшаяся фигура будет пирамидой с основанием в виде треугольника и вершиной, находящейся над стороной ( a ).

Вычисление боковой поверхности пирамиды:

Высота пирамиды ( h ) будет равна ( h = h{\text{п}} \cdot \sin(\alpha) ), где ( h{\text{п}} ) — высота призмы (высота треугольника), которую мы можем найти по формуле для высоты правильного треугольника:

[
h_{\text{п}} = \frac{\sqrt{3}}{2} a
]

Стороны пирамиды будут равны длине отрезков, проведенных от трёх вершин треугольника до вершины пирамиды. Эти отрезки можно найти с использованием тригонометрии.

Площадь боковой поверхности пирамиды будет равна:

[
S{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot P{\text{осн}} \cdot l
]

где ( P_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 ) — площадь основания (правильного треугольника), ( l ) — длина бокового ребра пирамиды.

Каждая из боковых граней также является треугольником, вы можете найти площадь каждой из боковых граней и суммировать их.

Задача 9

Рассмотрим равнобедренную трапецию с острым углом, у которой боковые стороны и меньшее основание равны ( a ).

Обозначим большее основание трапеции как ( b ). Установим высоту трапеции как ( h ).

Когда трапеция вращается вокруг большего основания, образуется тело вращения (часть цилиндра с конусом сверху, если принять во внимание меньшую площадь).

Вычисление объема и поверхности тела вращения:

Объем:

Объем тела вращения можно найти по формуле:

[
V = \pi h \left( R^2 - r^2 \right)
]

где ( R ) — радиус большей базы (( \frac{b}{2} )), а ( r ) — радиус меньшей базы (( \frac{a}{2} )). Высота ( h ) равна высоте трапеции.

Площадь поверхности:

Площадь поверхности тела вращения включает в себя площади боковой поверхности и оснований. Если следует вышеуказаны формулы для нахождения площади оснований:

[
S = 2\pi R h + 2\pi r h + \pi R^2 + \pi r^2
]

где первый и второй члены — это площадь боковой поверхности, а третий и четвертый — площади оснований.

Эти вычисления приведут к формуле объема и площади для тела вращения, образованного вращением равнобедренной трапеции вокруг большего основания.

Если нужны дальнейшие вычисления по этим формулам, пожалуйста, дайте знать, и мы продолжим!