Математика решить задание Найдите такое n, для которого данные числа так же будут простыми.Докажите что другиx простыx нет. 2n + 1 и 4n + 1

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Чтобы найти такие ( n ), для которых выражения ( 2n + 1 ) и ( 4n + 1 ) являются простыми числами, начнем с подбора значений ( n ) и проверки простоты полученных чисел.

Для ( n = 0 ):
[
2n + 1 = 2 \cdot 0 + 1 = 1 \quad \text{(не простое)}
]
[
4n + 1 = 4 \cdot 0 + 1 = 1 \quad \text{(не простое)}
]

Для ( n = 1 ):
[
2n + 1 = 2 \cdot 1 + 1 = 3 \quad \text{(простое)}
]
[
4n + 1 = 4 \cdot 1 + 1 = 5 \quad \text{(простое)}
]

Для ( n = 2 ):
[
2n + 1 = 2 \cdot 2 + 1 = 5 \quad \text{(простое)}
]
[
4n + 1 = 4 \cdot 2 + 1 = 9 \quad \text{(не простое)}
]

Для ( n = 3 ):
[
2n + 1 = 2 \cdot 3 + 1 = 7 \quad \text{(простое)}
]
[
4n + 1 = 4 \cdot 3 + 1 = 13 \quad \text{(простое)}
]

Для ( n = 4 ):
[
2n + 1 = 2 \cdot 4 + 1 = 9 \quad \text{(не простое)}
]
[
4n + 1 = 4 \cdot 4 + 1 = 17 \quad \text{(простое)}
]

Для ( n = 5 ):
[
2n + 1 = 2 \cdot 5 + 1 = 11 \quad \text{(простое)}
]
[
4n + 1 = 4 \cdot 5 + 1 = 21 \quad \text{(не простое)}
]

Для ( n = 6 ):
[
2n + 1 = 2 \cdot 6 + 1 = 13 \quad \text{(простое)}
]
[
4n + 1 = 4 \cdot 6 + 1 = 25 \quad \text{(не простое)}
]

Для ( n = 7 ):
[
2n + 1 = 2 \cdot 7 + 1 = 15 \quad \text{(не простое)}
]
[
4n + 1 = 4 \cdot 7 + 1 = 29 \quad \text{(простое)}
]

Мы получаем, что следующие значения ( n ) дают оба простых числа:

Теперь мы проверим, могут ли ( 2n + 1 ) и ( 4n + 1 ) приниматься за простые числа для других значений ( n ).
При большем ( n ) оба выражения увеличиваются и исследуя прирост, мы можем заметить, что увеличение ( n ) приводит к большему числу, и вероятность того, что они останутся простыми, снижается.

Можно также использовать свойства делимости для проверки больших ( n ) (методы проб и дел). В общем случае, доказать, что для других ( n ) простых чисел больше не существует, сложнее и требует более глубокого анализа или теории чисел.

С точки зрения практики чисел:
[
\text{Проверенные простые пары:} \quad (n = 1) \text{ и } (n = 3)
]
Другие проверки явно показывают, что дальнейшие примеры составляют всё меньше шансов встречаться простым парам, особенно для большого ( n ).