Геометрия 8 кл
В прямоугольнике ABCD диагональ AC составляет со стороной AD угол 130 градусов. Биссектриса угла BAC пересекает сторону BC в точке E. На продолжении стороны CD за точку D взята точка F такая, что AF=FC. Вычислите расстояние от точки E до прямой AC, если расстояние от точки С до прямой AF равно 2,25.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Давайте начнем с анализа задачи. Мы имеем прямоугольник ABCD, где угол ( \angle DAC = 130^\circ ). Мы знаем, что диагонали прямоугольника пересекаются и делят углы пополам. Обозначим углы следующим образом:

( \angle DAB = 90^\circ )( \angle DAC = 130^\circ )Таким образом, ( \angle CAB = 90^\circ - \angle DAC = 90^\circ - 130^\circ = -40^\circ ) (что невозможно).

Проблема? Давайте исправим. Правильнее было бы записать, что ( \angle DAB = 90^\circ ) и затем ( \angle DAC = 130^\circ ) и, следовательно, ( \angle EAC ) будет равен ( \frac{130^\circ}{2} = 65^\circ ).

Теперь давайте продолжим с биссектрисой. Биссектрисы создают подобие треугольников. Используя теорему о биссектрисе, мы можем выяснить, что:

[ \frac{BE}{EC} = \frac{AB}{AC} ]

Теперь по поводу точки ( F ):

Мы знаем, что ( AF = FC ). То есть точка ( F ) находится на продолжении горизонтальной стороны ( CD ), и делит отрезок ( AC ) пополам.

Теперь задано расстояние от точки ( C ) до прямой ( AF = 2.25 ). По всем данным можем сказать, что прямая ( AF ) будет очень важной для определения расстояния до ( E ).

Согласно свойствам расстоянии от точки до прямой, мы можем получить данные о ( E ) (поскольку он параллелен ( AC )).

Расстояние от точки ( E ) до прямой ( AC ) совпадает с расстоянием от точки ( C ) до прямой ( AF ), так как каждая из них будет иметь одинаковое перпендикулярное расстояние. То есть:

[ \text{Расстояние от точки } E \text{ до прямой } AC = \frac{2.25}{\sin(65^\circ)} ]

Почему именно так? Подеса используется треугольник с известным углом ( 65^\circ ) и концом на биссектрисе, учитывая соотношение.

Итак, окончательное искомое расстояние можно посчитать. Но, чтобы просто выразить конечный ответ:

Определяем точное значение. Пользуемся ( \sin(65) \approx 0.9063 ):

[ 2.25 * 0.9063 \approx 2.04 ]

Таким образом, конечный итог будет:

Расстояние от точки ( E ) до прямой ( AC ) равно 2.25.