Найти координаты вектора. Найти координаты вектора ¯a, перпендикулярного векторам 2¯i+¯j и ¯i+¯j+¯k, если |¯a|=3√6 и (¯a; 2¯i+¯j; ¯i+¯j+¯k) – левая тройка векторов.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Давайте обозначим векторы:

[
\mathbf{b_1} = 2\mathbf{i} + \mathbf{j}, \quad \mathbf{b_2} = \mathbf{i} + \mathbf{j} + \mathbf{k}
]

Вектор (\mathbf{a}) должен быть перпендикулярным к обоим векторам (\mathbf{b_1}) и (\mathbf{b_2}). Это значит, что скалярные произведения (\mathbf{a}) и (\mathbf{b_1}), а также (\mathbf{a}) и (\mathbf{b_2}) равны нулю:

Пусть вектор (\mathbf{a} = x \mathbf{i} + y \mathbf{j} + z \mathbf{k}). Тогда:

((x \mathbf{i} + y \mathbf{j} + z \mathbf{k}) \cdot (2 \mathbf{i} + \mathbf{j}) = 0)

[
2x + y = 0 \rightarrow y = -2x
]

((x \mathbf{i} + y \mathbf{j} + z \mathbf{k}) \cdot (\mathbf{i} + \mathbf{j} + \mathbf{k}) = 0)

[
x + y + z = 0
]

Теперь подставим (y = -2x) в второе уравнение:

[
x - 2x + z = 0 \rightarrow -x + z = 0 \rightarrow z = x
]

Таким образом, мы имеем:

[
\mathbf{a} = x \mathbf{i} - 2x \mathbf{j} + x \mathbf{k} = x(\mathbf{i} - 2 \mathbf{j} + \mathbf{k})
]

Теперь найдем длину вектора (\mathbf{a}):

[
|\mathbf{a}| = |x| \cdot |\mathbf{i} - 2 \mathbf{j} + \mathbf{k}|
]

Сначала найдем длину вектора (\mathbf{i} - 2 \mathbf{j} + \mathbf{k}):

[
|\mathbf{i} - 2 \mathbf{j} + \mathbf{k}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}
]

Следовательно,

[
|\mathbf{a}| = |x| \cdot \sqrt{6}
]

И по условию задачи,

[
|\mathbf{a}| = 3\sqrt{6}
]

Приравняем и решим для (x):

[
|x| \cdot \sqrt{6} = 3\sqrt{6} \rightarrow |x| = 3
]

Это значит, что (x = 3) или (x = -3). Рассмотрим оба случая.

[
\mathbf{a} = 3(\mathbf{i} - 2 \mathbf{j} + \mathbf{k}) = 3\mathbf{i} - 6\mathbf{j} + 3\mathbf{k}
]

Координаты вектора (\mathbf{a}): ((3, -6, 3)).

[
\mathbf{a} = -3(\mathbf{i} - 2 \mathbf{j} + \mathbf{k}) = -3\mathbf{i} + 6\mathbf{j} - 3\mathbf{k}
]

Координаты вектора (\mathbf{a}): ((-3, 6, -3)).

Теперь нам нужно выбрать вектор с учетом условия, что эта тройка векторов (включая (\mathbf{a})) должна образовывать левую тройку. Это можно проверить с помощью определения левой тройки векторов через знак детерминанта.

Проверяем для вектора ((3, -6, 3)):

[
\text{det} \begin{vmatrix}
2 & 1 & 0 \
1 & -2 & 1 \
0 & 0 & 1
\end{vmatrix} = 2(-2) - 1(1) + 0 = -4 - 1 = -5 \quad (\text{положительное значение})
]

Для вектора ((-3, 6, -3)):

[
\text{det} \begin{vmatrix}
2 & 1 & 0 \
1 & 2 & 1 \
0 & 0 & 1
\end{vmatrix} = 2(2) - 1(-3) + 0 = 4 + 3 = 7 \quad (\text{отрицательное значение})
]

Таким образом, вектор ((3, -6, 3)) дает нам нужное направление для формирования левой тройки.

Итак, координаты вектора (\mathbf{a}):

[
\boxed{(3, -6, 3)}
]