В предложении «Популяризируя новые маршруты, под иным углом показывая старые, он прокладывает путь своим соотечественникам» грамматическая основа — это «он прокладывает путь своим соотечественникам».
Словосочетание «популяризируя новые маршруты, под иным углом показывая старые» является обстоятельственным, описывающим действие, но не содержит своей грамматической основы.
В предложении «Популяризируя новые маршруты, под иным углом показывая старые, он прокладывает путь своим соотечественникам» грамматическая основа — это «он прокладывает путь своим соотечественникам».
Словосочетание «популяризируя новые маршруты, под иным углом показывая старые» является обстоятельственным, описывающим действие, но не содержит своей грамматической основы.