Число eee — фундаментальная математическая константа, приблизительно e≈2.718281828459045\displaystyle e\approx 2.718281828459045e≈2.718281828459045. Коротко и по сути — основные определения и свойства: - Через предел (непрерывное накопление): e=limn→∞(1+1n)n\displaystyle e=\lim_{n\to\infty}\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^ne=n→∞lim(1+n1)n. Более общо при ставке роста rrr и времени ttt: limn→∞(1+rn)nt=ert\displaystyle \lim_{n\to\infty}\Big(1+\frac{r}{n}\Big)^{nt}=e^{rt}n→∞lim(1+nr)nt=ert. - Через степенной ряд (удобно для анализа и дифференцирования): e=∑k=0∞1k!\displaystyle e=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}e=k=0∑∞k!1 и в общем ex=∑k=0∞xkk!\displaystyle e^x=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!}ex=k=0∑∞k!xk. - Как база натурального логарифма: определить lnx=∫1xdtt\displaystyle \ln x=\int_1^x\frac{dt}{t}lnx=∫1xtdt; тогда eee — единственное число с lne=1\ln e=1lne=1. - Дифференциальное свойство: ddxex=ex\displaystyle \frac{d}{dx}e^x=e^xdxdex=ex. Функция exe^xex непрерывна и бесконечно дифференцируема; это единственная функция, удовлетворяющая f′(x)=f(x)f'(x)=f(x)f′(x)=f(x) и f(0)=1f(0)=1f(0)=1. - Экономический/физический смысл: eee появляется при переходе от дискретного к непрерывному росту (непрерывное сложение процентов, непрерывный рост популяции и т.п.). Краткая причина равенства ряд–предел: разложение экспоненты в ряд и биномиальный разложение показывают, что ∑k=0∞1k!\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k!}∑k=0∞k!1 совпадает с пределом (1+1n)n\big(1+\frac{1}{n}\big)^n(1+n1)n при n→∞n\to\inftyn→∞ (формально доказывается оценками членов ряда и теоремой о пределе последовательностей). Если нужно — могу дать подробную формальную проверку любого из определений (предел ⇒ ряд, ряд ⇒ производная и т.д.).
Коротко и по сути — основные определения и свойства:
- Через предел (непрерывное накопление): e=limn→∞(1+1n)n\displaystyle e=\lim_{n\to\infty}\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^ne=n→∞lim (1+n1 )n. Более общо при ставке роста rrr и времени ttt: limn→∞(1+rn)nt=ert\displaystyle \lim_{n\to\infty}\Big(1+\frac{r}{n}\Big)^{nt}=e^{rt}n→∞lim (1+nr )nt=ert.
- Через степенной ряд (удобно для анализа и дифференцирования): e=∑k=0∞1k!\displaystyle e=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}e=k=0∑∞ k!1 и в общем ex=∑k=0∞xkk!\displaystyle e^x=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!}ex=k=0∑∞ k!xk .
- Как база натурального логарифма: определить lnx=∫1xdtt\displaystyle \ln x=\int_1^x\frac{dt}{t}lnx=∫1x tdt ; тогда eee — единственное число с lne=1\ln e=1lne=1.
- Дифференциальное свойство: ddxex=ex\displaystyle \frac{d}{dx}e^x=e^xdxd ex=ex. Функция exe^xex непрерывна и бесконечно дифференцируема; это единственная функция, удовлетворяющая f′(x)=f(x)f'(x)=f(x)f′(x)=f(x) и f(0)=1f(0)=1f(0)=1.
- Экономический/физический смысл: eee появляется при переходе от дискретного к непрерывному росту (непрерывное сложение процентов, непрерывный рост популяции и т.п.).
Краткая причина равенства ряд–предел: разложение экспоненты в ряд и биномиальный разложение показывают, что ∑k=0∞1k!\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k!}∑k=0∞ k!1 совпадает с пределом (1+1n)n\big(1+\frac{1}{n}\big)^n(1+n1 )n при n→∞n\to\inftyn→∞ (формально доказывается оценками членов ряда и теоремой о пределе последовательностей).
Если нужно — могу дать подробную формальную проверку любого из определений (предел ⇒ ряд, ряд ⇒ производная и т.д.).