Правильно: молодёжь.
Объяснение кратко:
- Буква ё обязательна: «молодёжь».
- Мягкий знак в конце тоже нужен: «ь» (вариант «молодеж» без мягкого знака — неверен).
- Это существительное, ж. р., собирательное: «Молодёжь активно участвует в жизни города.»
Внеформально в печати ё иногда заменяют на е («молодежь»), но по орфографии корректно писать «ё».