Сколько острых углов может иметь выпуклый n-угольник?Обоснуйте ответ

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Выпуклый n-угольник может иметь максимум n-2 острых углов.

Для того чтобы понять это, рассмотрим наибольшее количество острых углов, которые могут быть в вершинах n-угольника. Если все вершины выпуклого многоугольника имеют острые углы, то каждая пара соседних вершин образует угол, который не должен превышать 180 градусов. Таким образом, всего в n-угольнике может быть n таких углов.

Однако для выполнения условия выпуклости многоугольника, сумма всех углов в каждой вершине должна быть меньше 360 градусов. Если в каждой из n вершин углы будут острые, то сумма всех углов в вершине будет больше 360 градусов (поскольку каждый угол меньше 180 градусов, то сумма n таких углов не может быть меньше 360 градусов).

Таким образом, максимальное количество острых углов в n-угольнике равно n-2.