Оба варианта имеют право на жизнь. Правильное написание полностью зависит от контекста. Сравните:
1. Этот пёс когда-нибудь всё-таки допросится, чтобы его вывели на улицу.
2. Нужно срочно допроситься у секретаря.
Общее правило: если глагол отвечает на вопросы «Что делать? Что сделать?» (с мягким знаком на конце) — то и в глаголе должен быть мягкий знак. Если же в вопросе нет мягкого знака (например: «Что делает? Что сделает?») — то мягкий знак не нужен. Поэтому в данном случае всё зависит от контекста.
Оба варианта имеют право на жизнь. Правильное написание полностью зависит от контекста. Сравните:
1. Этот пёс когда-нибудь всё-таки допросится, чтобы его вывели на улицу.
2. Нужно срочно допроситься у секретаря.
Общее правило: если глагол отвечает на вопросы «Что делать? Что сделать?» (с мягким знаком на конце) — то и в глаголе должен быть мягкий знак. Если же в вопросе нет мягкого знака (например: «Что делает? Что сделает?») — то мягкий знак не нужен. Поэтому в данном случае всё зависит от контекста.