Объем тела, ограниченный поверхностями 2-го порядка (V): x^2+y^2=10-z

z=3(x^2+y^2)^(1/2)

Найти V тела
Трудность с пределами, тут скорее всего нужно перейти в ЦСК. Желательно с подробным решением...

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала перейдем к цилиндрическим координатам, заменяя x = rcosθ, y = rsinθ, а затем заменим z = z:

V = ∫∫∫ dV = ∫∫∫ r dz dr dθ

Пределы интегрирования:
0 ≤ r ≤ √10
0 ≤ θ ≤ 2π
0 ≤ z ≤ 3r

Теперь подставим уравнения x, y и z в уравнение поверхности, чтобы найти верхние и нижние грани интегрирования по z:

x^2 + y^2 = 10 - z
r^2 = 10 - z
z = 10 - r^2

Теперь можем выразить объем тела:

V = ∫∫∫ r dz dr dθ = ∫∫∫ r(10 - r^2) dz dr dθ

Выполним интегрирование по z с учетом пределов и получим:

V = ∫(0 to 2π) ∫(0 to √10) ∫(0 to 3r) r(10 - r^2) dz dr dθ

Выполняем последовательное интегрирование по z, r и θ:

V = ∫(0 to 2π) ∫(0 to √10) [30r - 2r^3] dr dθ

V = ∫(0 to 2π) [15r^2 - (1/2)r^4] |(0 to √10) dθ

V = ∫(0 to 2π) [(150 - 50√10) - 0] dθ

V = 2π(150 - 50√10)

V ≈ 732.88

Итак, объем тела, ограниченного поверхностями второго порядка, равен примерно 732.88.