Математика, решение задач, олимпиада
Вычислите 1/1×2+1/2×3+1/3×4+1/4×5+...+1/39×40. Ответ запишите в виде десятичной дроби

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Давайте рассмотрим сумму:

[
S = \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \ldots + \frac{1}{39 \times 40}
]

Каждый член суммы можно переписать следующим образом:

[
\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}
]

Используя это преобразование, сумма ( S ) становится:

[
S = \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \ldots + \left(\frac{1}{39} - \frac{1}{40}\right)
]

Заметим, что это — телескопическая сумма. При сложении многие термы сокращаются, и мы остаёмся с:

[
S = 1 - \frac{1}{40}
]

Теперь завершаем вычисления:

[
S = 1 - \frac{1}{40} = \frac{40}{40} - \frac{1}{40} = \frac{39}{40}
]

Теперь запишем ответ в виде десятичной дроби:

[
\frac{39}{40} = 0.975
]

Таким образом, ответ равен:

[
\boxed{0.975}
]