На рынке совершенной конкуренции с обратной функцией спроса P(Q)=160-2Q введение налога в размере t на каждую проданную единицу товара для его производителей сократило объем продаж вдвое,Обратная функция предложения товара имеет видP(Q)=2/3Q.Найдите размер налога t

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данной задачи необходимо найти уравнение спроса и предложения без учета налога, а затем рассмотреть сокращение объема продаж вдвое после введения налога.

Уравнение спроса без учета налога:
P(Q) = 160 - 2Q

Уравнение предложения без учета налога:
P(Q) = 2/3Q

После введения налога в размере t на каждую проданную единицу товара для его производителей уравнение спроса изменится:
P(Q) = 160 - 2Q - t

Объем продаж сокращается вдвое, значит:
Q/2 = Q - t

Заменим уравнения спроса и предложения для нахождение размера налога t:
160 - 2Q - t = 2/3Q
160 - 2(Q/2) - t = 2/3(Q/2)
160 - Q - t = 1/3Q

Подставим Q/2 = Q - t в полученное уравнение:
160 - (Q/2) - t = 1/3(Q/2)
160 - Q/2 - t = 1/6Q
160 - Q/2 - t = Q/6

Умножим обе части уравнения на 6, чтобы избавиться от дробей:
960 - 3Q - 6t = Q

С учетом Q/2 = Q - t получаем:
960 - 3(Q/2 + t) - 6t = Q
960 - 3Q/2 - 3t - 6t = Q
960 - 3Q/2 - 9t = Q

Добавим к обе стороны уравнения 3Q/2:
1920 - 3Q - 18t = 2Q
1920 - 2Q = 3Q + 18t
1920 = 5Q + 18t
5Q = 1920 - 18t

Поскольку Q/2 = Q - t, то:
5(Q - t) = 1920 - 18t
5Q - 5t = 1920 - 18t
5Q + 13t = 1920

Теперь подставим Q из уравнения предложения:
5*(2/3Q) + 13t = 1920
10/3Q + 13t = 1920
10Q + 39t = 5760

Подставим уравнение предложения без налога P(Q) = 2/3Q:
160 - 2/3Q = 2/3Q
160 = 8/3Q
Q = 60

Найдем t:
5*60 + 13t = 1920
300 + 13t = 1920
13t = 1620
t = 1620 / 13
t = 124.62

Ответ: размер налога t составляет 124.62.