Тонкое кольцо радиусом 0,2 м равномерно заряжено с линейной плотностью 0,1 мкКл/м. Тонкое кольцо радиусом 0,2 м равномерно заряжено с линейной
плотностью 0,1 мкКл/м. На каком расстоянии от центра кольца на оси,
перпендикулярной к его плоскости, напряжённость электрического поля
кольца максимальна? Какова эта напряжённость?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Напряженность электрического поля над тонким заряженным кольцом может быть найдена по формуле:
[ E = \frac{k \cdot Q \cdot z}{(z^2 + R^2)^{3/2}}, ]
где k - постоянная Кулона, Q - полная заряд кольца, R - радиус кольца, z - расстояние от центра кольца на оси.

Полный заряд кольца можно найти, умножив линейную плотность заряда на длину окружности кольца:
[ Q = \lambda \cdot 2\pi R = 0.1 \cdot 10^{-6} \cdot 2\pi \cdot 0.2 = 0.000126 \, Кл. ]

Теперь найдем производную поля по z и приравняем ее к нулю для нахождения максимума:
[ \frac{dE}{dz} = \frac{k \cdot Q \cdot (R^2 - 2z^2)}{(z^2 + R^2)^{5/2}} = 0. ]

Отсюда получаем, что ( z = \frac{R}{\sqrt{2}} ).

Подставляем этот результат обратно в формулу для E:
[ E_{max} = \frac{k \cdot Q}{(\frac{R^2}{2} + R^2)^{3/2}} = \frac{k \cdot Q}{(\frac{3R^2}{2})^{3/2}} = \frac{2\sqrt{2} \cdot k \cdot Q}{3R^3} = \frac{2\sqrt{2} \cdot 9 \cdot 10^9 \cdot 0.000126}{0.2^3} = 28354 \, В/м. ]

Таким образом, максимальная напряженность поля над кольцом будет равна 28354 В/м, а расстояние от центра кольца на оси, где это значение достигается, равно ( \frac{R}{\sqrt{2}} = \frac{0.2}{\sqrt{2}} \approx 0.141 \, м. )