Материальная точка одновременно участвует в двух колебаниях, происходящих вдоль одной прямой и выражаемых уравнениями х1=sinωt см и х2=cosωt см. Найти амплитуду результирующего колебания, его частоту и начальную фазу. Написать уравнение движения.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Сначала найдем координаты точки в зависимости от времени:

x1 = A1*sin(ωt)

x2 = A2*cos(ωt)

где A1 и A2 - амплитуды колебаний, ω - общая частота колебаний.

Так как sin^2(ωt) + cos^2(ωt) = 1, то можно представить x1 и x2 следующим образом:

x1 = A1sin(ωt) = A1sin(ωt) + 0*cos(ωt)

x2 = A2cos(ωt) = 0sin(ωt) + A2*cos(ωt)

Теперь можем записать уравнение результирующего колебания:

x = A*sin(ωt + φ),

где A - амплитуда результирующего колебания, φ - начальная фаза. Так как x = x1 + x2, получаем:

Asin(ωt + φ) = A1sin(ωt) + A2*cos(ωt).

Раскроем левую часть уравнения:

Asin(ωt)cos(φ) + Acos(ωt)sin(φ) = A1sin(ωt) + A2cos(ωt).

Сравнивая коэффициенты при sin(ωt) и cos(ωt), получаем:

Acos(φ) = A1,
Asin(φ) = A2.

Возводим обе части уравнения в квадрат и складываем их:

(Acos(φ))^2 + (Asin(φ))^2 = A1^2 + A2^2,

A^2 = sqrt(A1^2 + A2^2)

Таким образом, амплитуда результирующего колебания равна корню из суммы квадратов амплитуд двух колебаний.

Для нахождения начальной фазы φ разделим уравнения Asin(φ) = A2 и Acos(φ) = A1:

φ = arctan(A2/A1).

Частота результирующего колебания будет равна общей частоте двух колебаний: ω.

Таким образом, уравнение движения материальной точки будет иметь вид:

x = sqrt(A1^2 + A2^2)*sin(ωt + arctan(A2/A1)).