Диск массой m с радиусом R катится без скольжения с угловой скоростью w(омега маленькая) по горизонтальной плоскости, имея постоянный угол наклона O(тета) к вертикали. Найдите радиус окружности r, описываемой центром диска при его движении, пологая выполненным условие r >> R, а также его угловую скорость (омега большая) и горизонтальную силу F, действующую на диск со стороны плоскости в точке касания. Какому ограничению должен удовлетворять в данном случае угол O(тета).
Указания: поскольку кривизна описываемой окружности мала, то для линейной скорости центра диска C справедливо равенство v = w(омега маленькая)R. Отсюда следует, что w(омега маленькая) >> (омега большая). Учитывая это, рассмотрите прецессию вектора момента импульса L диска вокруг вертикали. Используйте теорему о движении центра масс и уравнение моментов, взятых относительно точки C.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала определим ускорение центра масс диска. Обозначим угловую скорость прецессии как W (омега большая). Тогда ускорение центра масс диска обозначим как a_cm. Учитывая, что ускорение составляется из ускорения центростремительного (a_c) и ускорения тангенциального (a_t), получим:

a_c = R W^2
a_t = R alpha

где alpha - угловое ускорение диска. С учетом условия отсутствия скольжения, имеем, что ускорение тангенциальное равно R alpha = R a.

Теперь применим теорему о движении центра масс для диска. Учитывая, что на диск действует горизонтальная сила F и вес диска mg, можно записать:

F - mg sin(O) = m a_cm

Теперь найдем момент силы F относительно точки C. Поскольку сила F действует в точке касания диска с плоскостью, то момент этой силы равен нулю. Таким образом, остается только момент силы веса диска мг, который равен моменту инерции диска I относительно точки C, умноженному на угловое ускорение alpha:

m g R cos(O) = I alpha

Известно, что момент инерции диска относительно оси, проходящей через его центр, равен I = (1/2) m R^2. Подставим это значение:

m g R cos(O) = (1/2) m R^2 alpha

Теперь найдем связь между угловой скоростью w и угловой скоростью прецессии W. Для этого воспользуемся выражением L = I w = m R^2 * w, где L - момент импульса диска. С учетом изменения момента импульса получаем:

dL/dt = m R^2 alpha => d/dt(m R^2 w) = m R^2 alpha

Таким образом, мы получаем связь между угловой скоростью w и угловой скоростью прецессии W.

В итоге, решив систему уравнений, мы найдем радиус окружности r, угловую скорость (омега большая) и горизонтальную силу F, а также угловое ограничение для угла O.