Длинный цилиндр радиуса 3 м равномерно заряжен по поверхности с линейной плотностью 2 нКл на каждый сантиметр длины. Найти зависимость модуля напряженности этого поля от расстояния от оси цилиндра

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения зависимости модуля напряженности электрического поля от расстояния от оси цилиндра воспользуемся формулой для поля точечного заряда:

[ E = \frac{k \cdot q}{r^2} ]

где:
( E ) - модуль напряженности поля,
( k ) - постоянная Кулона ((8.9875 \times 10^9 \, Н \cdot м^2/Кл^2)),
( q ) - заряд элемента цилиндра,
( r ) - расстояние от оси цилиндра до точки, в которой ищется напряженность.

Так как цилиндр равномерно заряжен по поверхности, то заряд элемента цилиндра будет равен ( dq = \lambda \cdot dl ), где ( \lambda = 2 \times 10^{-6} \, Кл/см ) - линейная плотность заряда, а ( dl ) - элемент длины цилиндра.

Таким образом, модуль напряженности поля в точке, находящейся на расстоянии ( r ) от оси цилиндра, будет равен:

[ E = \int \frac{k \cdot \lambda \cdot dl}{r^2} ]

Так как цилиндр радиуса 3 м, то его длина равна ( 2\pi \times 3 = 6\pi ) м. Подставим все значения в интеграл:

[ E = \int_{0}^{6\pi} \frac{8.9875 \times 10^9 \cdot 2 \times 10^{-6} \cdot dl}{r^2} = \frac{8.9875 \times 10^9 \cdot 2 \times 10^{-6} \cdot 6\pi}{r^2} = \frac{1078.5 \cdot 10^3 \cdot \pi}{r^2} ]

Таким образом, зависимость модуля напряженности электрического поля от расстояния ( r ) от оси цилиндра будет обратно пропорциональной квадрату расстояния:

[ E \propto \frac{1}{r^2} ]

Данная зависимость показывает, что чем дальше находится точка от оси цилиндра, тем слабее будет поле в этой точке.