Таракан и два жука могут ползать по большому столу. Каждый из жуков может развивать скорость до 1 см/с. В первый момент насекомые находятся в вершинах равностороннего треугольника. Какую скорость должен уметь развивать таракан, чтобы при любых перемещениях жуков треугольник оставался равносторонним? Ответ запишите в см/с.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы треугольник оставался равносторонним, скорость таракана должна быть равна среднему геометрическому скоростей двух жуков.

Среднее геометрическое двух чисел a и b равно sqrt(ab).

Пусть скорость таракана равна x см/с. Тогда для равнобедренного треугольника с высотой h и основанием b справедливо следующее соотношение: h = b*sqrt(3)/2.

Пусть жуки движутся в одном направлении по стороне треугольника со скоростью 1 см/с. Тогда скорость таракана x также будет равна скорости движения жуков по направлению ребра треугольника, и таракан будет проползать за единицу времени расстояние, равное основанию равностороннего треугольника.

Рассмотрим момент времени t, когда жуки достигнут вершины треугольника. Расстояние, пройденное тараканом за это время, будет равно основанию треугольника. Это расстояние можно выразить через скорости жуков и таракана:

xt = 2t

Отсюда получаем x = 2 см/с.

Таким образом, скорость таракана должна быть равна 2 см/с, чтобы равносторонний треугольник оставался равносторонним при любых перемещениях жуков.