Доказать, что если частица совершает периодической движение, то средняя за период скорость потерь энергии совпадает со средней интенсивностью излучения.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства данного утверждения рассмотрим закон сохранения энергии для периодического движения частицы.

Согласно закону сохранения энергии, изменение энергии частицы равно интегралу по времени от силы потери энергии умноженной на скорость частицы:

[
\Delta E = \int F_{\text{пот}}v\, dt
]

Разделим обе части данного выражения на период движения частицы:

[
\frac{\Delta E}{T} = \frac{1}{T} \int F_{\text{пот}}v\, dt
]

Также, согласно теории электромагнитного излучения, интенсивность излучения равна среднему значению квадрата ускорения заряженной частицы:

[
I = \frac{1}{T} \int a^2\, dt
]

Теперь воспользуемся формулой для радиационного затухания, которая связывает потерю энергии с ускорением частицы:

[
F_{\text{пот}} = -m a
]

Тогда уравнение для изменения энергии можно переписать в виде:

[
\frac{\Delta E}{T} = -\frac{m}{T} \int a v\, dt = -\frac{m}{T} \int v\, da
]

Проведем интегрирование по частям:

[
\frac{\Delta E}{T} = -\frac{m}{T} \left( v\int da - \int dv \int a\, dt \right)
]

[
\frac{\Delta E}{T} = -\frac{m}{T} \left( \frac{1}{2}v^2 - \int vF_{\text{пот}}\, dt \right)
]

Теперь мы можем выразить скорость потерь энергии через интенсивность излучения:

[
\frac{\Delta E}{T} = -\frac{m}{2T}v^2 + \frac{m}{T} \int vF{\text{пот}}\, dt = -\frac{m}{2T}v^2 + \frac{m}{T} \int v\, dt F{\text{пот}}
]

[
\int v\, dtF{\text{пот}} = \int vF{\text{пот}}\, dt
]

Исходя из приведенных выше равенств можно видеть, что средняя потеря энергии за период движения совпадает с интенсивностью излучения. Таким образом, получаем, что если частица совершает периодическое движение, средняя скорость потерь энергии равна средней интенсивности излучения.