Преодоление реки перпендикулярно течению На ровном участке река имеет ширину h и постоянную скорость течения v. Парому необходимо преодолеть реку перпендикулярно к течению. Скорость парома в стоячей воде V>v . Под каким углом к направлению течения следует направлять паром?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Чтобы минимизировать время переправы, паром должен двигаться под углом к направлению течения, образующем перпендикуляр к линии берегов.

Пусть угол между направлением движения парома и направлением течения равен α. Тогда горизонтальная скорость парома будет равна Vcosα, а вертикальная скорость - Vsinα.
Скорость течения реки будет направлена по оси х и будет равна v.

Расстояние, которое нужно преодолеть парому, можно найти, рассмотрев движение парома по горизонтали и вертикали как два независимых движения.
По горизонтали паром будет двигаться со скоростью Vcosα, пройдя расстояние h.
По вертикали паром будет двигаться со скоростью Vsinα, пройдя расстояние x.
Время достижения противоположного берега равно h / Vcosα + x / v.

Чтобы минимизировать это время, нужно взять производную от времени по переменной α и приравнять ее к нулю.
d / dα ( h / Vcosα + x / v) = 0
hVsinα / (Vcosα) ^ 2 - xVcosα / (Vsinα) ^ 2 = 0
h / (Vtanα) - x / (cotαV) = 0
h cotα - x / tanα = 0
x = h cotα
tanα = x / h
α = arctan(x / h)

Следовательно, парому следует двигаться под углом arctan(x / h) к направлению течения.