Выпущенный вертикально вверх со скоростью υ1 = 1000 м/с снаряд нужно поразить за минимальное время другим снарядом, скорость которого υ2 = 900 м/с. Оба снаряда выстреливаются с одного и того же места. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите, через какое время τ после первого выстрела следует произвести второй (g = 10 м/с2)?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения этой задачи воспользуемся уравнением движения для вертикального направления:

h = v0t - (g*t^2)/2

где h - высота, на которой нужно поразить снаряд, v0 - начальная скорость снаряда, g - ускорение свободного падения, t - время.

Пусть h = 0 (снаряд должен поразить цель на той же высоте, с которой он был выпущен).

Для первого снаряда, подставляя v0 = 1000 м/с и g = 10 м/с^2, получаем:

0 = 1000t - (10t^2)/
0 = 1000t - 5t^
5t^2 = 1000
t = 200 с

Итак, первый снаряд поражает цель через 200 с после выстрела.

Для второго снаряда, подставляя v0 = 900 м/с и g = 10 м/с^2, получаем:

0 = 900(t - τ) - 5(t - τ)^
0 = 900t - 900τ - 5t^2 + 10tτ - 5τ^
0 = 900t - 900τ - 5t^2 + 10tτ - 5τ^2

Подставляем t = 200 с:

0 = 900200 - 900τ - 5200^2 + 10200τ - 5τ^
0 = 180000 - 900τ - 540000 + 10*200τ - 5τ^
0 = 180000 - 900τ - 200000 + 2000τ - 5τ^
0 = -20000 - 700τ - 5τ^2

Решаем квадратное уравнение:

5τ^2 + 700τ + 20000 = 0

D = 700^2 - 4520000 = 490000 - 40000 = 450000

τ = (-700 ± √450000) / (2*5
τ = (-700 ± 670,82) / 10

Два корня:

τ1 ≈ (-700 + 670,82) / 10 = -29,18 / 10 = -2,918 с (не подходит, так как это время до первого выстрела
τ2 ≈ (-700 - 670,82) / 10 = -1370,82 / 10 = -137,082 с

Итак, второй снаряд нужно выпустить через приблизительно 137,1 с после первого выстрела.