Нужно решение задачи по физике Два цилиндра с одинаковыми массами m и радиусами R (один сплошной, второй полый) скатываются с наклонной плоскости высотой h и длинной L. В каком соотношении находятся скорости цилиндров у основания плоскости?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть v1 и v2 - скорости сплошного и полого цилиндров соответственно у основания плоскости. Тогда можно воспользоваться законом сохранения механической энергии:

( m \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v1^2 + \frac{1}{2} \cdot m \cdot v2^2 )

Где g - ускорение свободного падения, m - масса цилиндров.

Также скорость цилиндра вращения ( v = \omega \cdot R ), где ( \omega ) - угловая скорость вращения.

Так как цилиндры скатываются без проскальзывания, то у них одинаковые угловые скорости вращения, то есть

( v1 = \omega \cdot R )
( v2 = \omega \cdot (R{внешний} + R{внутренний}) = \omega \cdot R_{внешний} )

Тогда подставим выражения для скоростей в закон сохранения механической энергии:

( m \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot m \cdot \left(\frac{v1}{R}\right)^2 + \frac{1}{2} \cdot m \cdot \left(\frac{v2}{R}\right)^2 )

( 2 \cdot g \cdot h = v1^2 + v2^2 )

Вспоминаем, что угловая скорость одинакова:

( R \cdot \omega = v1 )
( R_{внешний} \cdot \omega = v2 )

Тогда ( R{внешний} = R{внутренний} + R )

( R{внутренний} = R{внешний} - R )

Таким образом, в итоговом уравнении мы можем использовать переменные R и R_{внутренний}:

( 2 \cdot g \cdot h = \left(R \cdot \omega\right)^2 + \left(R_{\text{внутренний}} \cdot \omega\right)^2 )

( 2 \cdot g \cdot h = \left(R \cdot \omega\right)^2 + \left((R_{\text{внешний}} - R) \cdot \omega\right)^2 )

Таким образом, мы можем решить это уравнение и найти соотношение скоростей цилиндров у основания плоскости.