1)Вычислите плотность шарообразной планеты, если спутник движется вокруг нее по круговой орбите с периодом Т на расстоянии от поверхности планеты, равном половине ее радиуса.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для вычисления плотности планеты воспользуемся законом всемирного тяготения Ньютона
[ F = \frac{{GMm}}{{r^2}} ]

где
F - сила тяжести, действующая на спутник
G - гравитационная постоянная
M - масса планеты
m - масса спутника
r - расстояние между планетой и спутником.

На спутника действует центростремительная сила
[ F = \frac{{mv^2}}{r} ]

где
v - скорость спутника.

Так как в данном случае мы имеем круговую орбиту, то центростремительная сила равна гравитационной силе
[ \frac{{mv^2}}{r} = \frac{{GMm}}{{r^2}} ]

Отсюда
[ v^2 = \frac{{GM}}{{r}}
[ v = \sqrt{\frac{{GM}}{{r}} ]

Период обращения спутника связан со скоростью и радиусом орбиты формулой
[ T = \frac{{2\pi r}}{v}
[ T = \frac{{2\pi r}}{{\sqrt{\frac{{GM}}{{r}}}} ]

Выразим массу планеты через известные величины
[ M = \frac{{4\pi^2 r^3}}{{GT^2}} ]

Теперь найдем объем и плотность планеты
Объем шарообразной планеты
[ V = \frac{{4\pi r^3}}{3} ]

Плотность
[ \rho = \frac{{M}}{V} = \frac{{\frac{{4\pi^2 r^3}}{{GT^2}}}{\frac{{4\pi r^3}}{3}} = \frac{3}{GT^2\pi} ]

Данное значение плотности определяется только массой и радиусом планеты, а не массой спутника или скоростью его обращения.