Олимпиадная задача по алгебре Будем говорить, что число n является k-разрешимым, если существуют такие натуральные числа a1, a2, ..ak (не обязательно различные) такие, чт
1/a1+1/a2+⋯+1/ak=

a1+a2+⋯+ak=n
Докажите, что если n является k-разрешимым, то 42n+12 является (k+3)-разрешимым.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала заметим, что если n является k-разрешимым, то выполняется условие
1/a1+1/a2+⋯+1/ak=1 .......(1

a1+a2+⋯+ak=n ........(2)

Добавим к обеим сторонам равенства (2) по 42
a1+a2+⋯+ak+42=42+n

Подставим это в равенство (1), умножив обе части на (n+42), получим
(n+42)/a1 + (n+42)/a2 + ... + (n+42)/ak = n+42

Раскроем скобки
(42n+42)/a1 + (42n+42)/a2 + ... + (42n+42)/ak = n+42

Разделим обе части на 42(n+12)
(n+12)/(a142) + (n+12)/(a242) + ... + (n+12)/(ak*42) = 1

Таким образом, получаем, что 42n+12 является (k+3)-разрешимым, что и требовалось доказать.