На краю горизонтальной платформы массой М = 200 кг имеющей форму диска и вращающейся с угловой скоростью w1 = 5 рад/с вокруг вертикальной оси, проходящей через её центр, стоит человек, масса которого m = 60 кг. пренебрегая трением, определить угловую скорость вращения платформы, если человек перейдет по радиусу платформы от края к центру. Момент инерции человека рассчитать как для материальной точки.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данной задачи воспользуемся законом сохранения момента импульса. Перед тем как человек начнет движение к центру платформы, момент импульса системы будет равен:

L1 = I1 w1 + m r1^2 * w1,

где I1 - момент инерции платформы, r1 - радиус платформы.

После того, как человек перейдет к центру, момент импульса системы будет равен:

L2 = I2 w2 + m r2^2 * w2,

где I2 - момент инерции платформы после перемещения человека, r2 - новый радиус платформы, w2 - искомая угловая скорость.

Так как момент импульса системы сохраняется, то L1 = L2:

I1 w1 + m r1^2 w1 = I2 w2 + m r2^2 w2.

Момент инерции платформы I1 = (1/2) M r1^2, момент инерции человека I_human = m * r^2 (как для материальной точки), момент инерции платформы после перемещения человека I2 = I1 + I_human.

Подставляем данные и решаем уравнение:

(1/2) 200 r1^2 5 + 60 r1^2 5 = ((1/2) 200 r2^2 + 60 r2^2) * w2.

Выражаем w2:

500 r1^2 + 300 r1^2 = 100 r2^2 + 60 r2^2.

800 r1^2 = 160 r2^2.

r1^2 = r2^2 / 5.

r1 = r2 / √5.

Следовательно, угловая скорость вращения платформы после того, как человек перейдет по радиусу к центру, будет на √5 раз меньше начальной угловой скорости:

w2 = w1 / √5 = 5 рад/с / √5 ≈ 2,236 рад/с.